5 Sea $Oxy$ un sistema de coordenadas rectangulares fijo en el plano. A cada par ordenado de puntos $A_1, A_2$ del mismo plano, distintos de O y con coordenadas $x_1, y_1$ y $x_2, y_2$ respectivamente, se le asocia un número real $f(A_1,A_2)$ de modo que se satisfacen las siguientes condiciones: (a) Si $OA_1 = OB_1$ , $OA_2 = OB_2$ y $A_1A_2 = B_1B_2$ , entonces $f(A_1,A_2) = f(B_1,B_2)$ . (b) Existe un polinomio de segundo grado $F(u,v,w,z)$ tal que $f(A_1,A_2)=F(x_1,y_1,x_2,y_2)$ . (c) Existe un número $\phi \in (0,\pi)$ tal que para cada dos puntos $A_1, A_2$ para los cuales se satisface $\angle A_1OA_2 = \phi$ , se tiene $f(A_1,A_2) = 0$ . (d) Si los puntos $A_1, A_2$ son tales que el triángulo $OA_1A_2$ es equilátero de lado $1$ , entonces $ f(A_1,A_2) = \frac12$ . Demuestre que $f(A_1,A_2) = \overrightarrow{OA_1} \cdot \overrightarrow{OA_2}$ para cada par ordenado de puntos $A_1, A_2$ .