2 Exactamente \( n \) casillas de una cuadrícula de \( n \times n \) se colorean de negro, y las casillas restantes de blanco. El costo de tal coloración es el número mínimo de casillas blancas que deben recolorearse de negro para que desde cualquier casilla negra \( c_0 \) se pueda llegar a cualquier otra casilla negra \( c_k \) a través de una sucesión \( c_0, c_1, \ldots, c_k \) de casillas negras en la que cada par consecutivo \( c_i, c_{i+1} \) sea adyacente (compartan un lado común) para todo \( i = 0, 1, \ldots, k-1 \) . Sea \( f(n) \) el costo máximo posible entre todas las coloraciones iniciales con exactamente \( n \) casillas negras. Determine una constante $\alpha$ tal que \[ \frac{1}{3}n^{\alpha} \leq f(n) \leq 3n^{\alpha} \] para todo $n\geq 100$ .