Para conmemorar el aniversario número $43$ del restablecimiento de las competencias de matemáticas, un entusiasta de las matemáticas organiza los primeros $2021$ enteros $1,2,\dots,2021$ en una secuencia $\{a_n\}$ en un cierto orden, de modo que la suma de cualquier $43$ elementos consecutivos en la secuencia sea un múltiplo de $43$ . (1) Si la secuencia de números está conectada de un extremo a otro en un círculo, pruebe que la suma de cualquier $43$ elementos consecutivos en el círculo también es un múltiplo de $43$ ; (2) Determine el número de secuencias $\{a_n\}$ que cumplen las condiciones de la pregunta.