Dado un número real $q$ , $1 < q < 2$ define una secuencia $ \{x_n\}$ como sigue: para cualquier entero positivo $n$, sea $x_n=a_0+a_1 \cdot 2+ a_2 \cdot 2^2 + \cdots + a_k \cdot 2^k \qquad (a_i \in \{0,1\}, i = 0,1, \cdots m k)$ su representación binaria, define $x_k= a_0 +a_1 \cdot q + a_2 \cdot q^2 + \cdots +a_k \cdot q^k$. Demostrar que para cualquier entero positivo $n$, existe un entero positivo $m$ tal que $x_n < x_m \leq x_n+1$.