Sea $ S$ un conjunto finito de puntos en el plano tal que no hay tres de ellos en una l\'inea. Para cada pol\'igono convexo $ P$ cuyos v\'ertices est\'an en $ S$ , sea $ a(P)$ el n\'umero de v\'ertices de $ P$ , y sea $ b(P)$ el n\'umero de puntos de $ S$ que est\'an fuera de $ P$ . Un segmento de l\'inea, un punto y el conjunto vac\'io se consideran pol\'igonos convexos de $ 2$ , $ 1$ y $ 0$ v\'ertices respectivamente. Demuestre que para cada n\'umero real $ x$ \n\[\sum_{P}{x^{a(P)}(1 - x)^{b(P)}} = 1,\]\ndonde la suma se toma sobre todos los pol\'igonos convexos con v\'ertices en $ S$ . Formulación alternativa : Sea $ M$ un conjunto finito de puntos en el plano y no hay tres puntos colineales. Un subconjunto $ A$ de $ M$ se llamar\'a redondo si sus elementos es el conjunto de v\'ertices de un $ A -$ g on convexo $ V(A).$ Para cada subconjunto redondo sea $ r(A)$ el n\'umero de puntos de $ M$ que son exteriores al $ A -$ g on convexo $ V(A).$ Los subconjuntos con $ 0,1$ y 2 elementos son siempre redondos, sus pol\'igonos correspondientes son el conjunto vac\'io, un punto o un segmento, respectivamente (para los cuales todos los dem\'as puntos que no son v\'ertices del pol\'igono son exteriores). Para cada subconjunto redondo $ A$ de $ M$ construya el polinomio\n\[ P_A(x) = x^{|A|}(1 - x)^{r(A)}.\n\]\nDemuestre que la suma de polinomios para todos los subconjuntos redondos es exactamente el polinomio $ P(x) = 1.$