Una división de un grupo de personas en varios grupos se llama $k$ - regular si el número de grupos es menor o igual a $k$ y dos personas que se conocen están en diferentes grupos. Sean $A$ , $B$ y $C$ grupos de personas tales que no hay ninguna persona en $A$ y ninguna persona en $B$ que se conozcan. Suponga que el grupo $A \cup C$ tiene una división $a$ - regular y el grupo $B \cup C$ tiene una división $b$ - regular. Para cada $a$ y $b$ , determine el menor valor posible de $k$ para el cual se garantiza que el grupo $A \cup B \cup C$ tiene una división $k$ - regular.