2012 g2 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $O$ su circuncentro. Las rectas $AI$ , $BI$ y $CI$ se encuentran con la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABC$ en $D$ , $E$ y $F$ . Los puntos medios de $EF$ , $FD$ y $DE$ se denotan por $ L$ , $M$ y $N$ , respectivamente. Sea $P$ el circuncentro de $\vartriangle LMN$ . Demuestre que $P$ , $O$ y $I$ son colineales.