Se dice que una cuádrupleta $(a,b,c,d)$ de enteros distintos es $\textit{balanceada}$ si $a+c=b+d$. Sea $\mathcal{S}$ cualquier conjunto de cuádruples $(a,b,c,d)$ donde $1 \leqslant a<b<d<c \leqslant 20$ y donde la cardinalidad de $\mathcal{S}$ es $4411$. Encuentra el menor número de cuádruples balanceadas en $\mathcal{S}.$