8 Suponga que $ A_1, A_2, \ldots, A_8$ son ocho puntos tomados arbitrariamente en un plano. Para una recta dirigida $ l$ tomada arbitrariamente en el plano, suponga que las proyecciones de $ A_1, A_2, \ldots, A_8$ sobre la recta son $ P_1, P_2, \ldots, P_8$ respectivamente. Si las ocho proyecciones son disjuntas dos a dos, pueden ordenarse como $ P_{i_1}, P_{i_2}, \ldots, P_{i_8}$ según la dirección de la recta $ l.$ Así obtenemos una permutación de $ 1, 2, \ldots, 8,$ a saber, $ i_1, i_2, \ldots, i_8.$ En la figura, esta permutación es $ 2, 1, 8, 3, 7, 4, 6, 5.$ Suponga que después de proyectar estos ocho puntos sobre toda recta dirigida del plano, obtenemos el número de permutaciones diferentes $ N_8 = N(A_1, A_2, \ldots, A_8).$ Halle el valor máximo de $ N_8.$