5 Para cualesquiera números positivos dados $a_1,a_2,\ldots,a_n$, demuestre que existen números positivos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ que satisfacen $\sum_{i=1}^n x_i=1$, tales que para cualesquiera números positivos $y_1,y_2,\ldots,y_n$ con $\sum_{i=1}^n y_i=1$, se cumple la desigualdad $\sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i}{x_i+y_i}\ge \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n a_i$.