4 Sea $k \in \mathbb{N},$ $S_k = \{(a, b) | a, b = 1, 2, \ldots, k \}.$ Dos elementos cualesquiera $(a, b)$ , $(c, d)$ $\in S_k$ se llaman «indistinguibles» en $S_k$ si $a - c \equiv 0$ o $\pm 1 \pmod{k}$ y $b - d \equiv 0$ o $\pm 1 \pmod{k}$ ; en caso contrario, los llamamos «distinguibles». Por ejemplo, $(1, 1)$ y $(2, 5)$ son indistinguibles en $S_5$ . Consideremos el subconjunto $A$ de $S_k$ tal que los elementos de $A$ son distinguibles dos a dos. Sea $r_k$ el número máximo posible de elementos de $A$ . (i) Halle $r_5$ . (ii) Halle $r_7$ . (iii) Halle $r_k$ para $k \in \mathbb{N}$ .