4 $\forall n \in \mathbb{N}$ , $P(n)$ denota el número de particiones de $n$ como suma de enteros positivos (sin tener en cuenta el orden de las partes), p. ej., como $4 = 1+1+1+1 = 1+1+2 = 1+3 = 2+2 = 4$ , se tiene $P(4)=5$ . La «dispersión» de una partición denota el número de partes distintas de dicha partición. Y denotemos por $q(n)$ la suma de todas las dispersiones, p. ej., $q(4)=1+2+2+1+1=7$ . $n \geq 1$ . Demuestre que (1) $q(n) = 1 + \sum^{n-1}_{i=1} P(i).$ (2) $1 + \sum^{n-1}_{i=1} P(i) \leq \sqrt{2} \cdot n \cdot P(n)$ .