En el triángulo acutángulo no isósceles ${}{\triangle ABC}$ , $AP$ , $BQ$ , $CR$ son las alturas del triángulo. $A_1$ es el punto medio de $BC$ , $AA_1$ interseca a $QR$ en $K$ , $QR$ interseca a la recta que pasa por ${A}$ y es paralela a $BC$ en el punto ${D}$ , la recta que une el punto medio de $AH$ con ${K}$ interseca a $DA_1$ en $A_2$ . Defina de manera análoga $B_2$ , $C_2$ . Se sabe que ${}\triangle A_2B_2C_2$ es no degenerado, y su circunferencia circunscrita es $\omega$ . Demuestre que: existen círculos $\odot A'$ , $\odot B'$ , $\odot C'$ tangentes a $\omega$ e interiores a ella que satisfacen: (1) $\odot A'$ es tangente a $AB$ y $AC$ , $\odot B'$ es tangente a $BC$ y $BA$ , y $\odot C'$ es tangente a $CA$ y $CB$ . (2) $A'$ , $B'$ , $C$ ' son distintos y colineales. Creado por Sihui Zhang