4 $P$ es un punto en el $\vartriangle ABC$ , $\omega $ es la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABC $ . $B P \cap \omega = \{ {B, B_1}\}$ , $C P \cap \omega =\{ {C, C_1} \}$ , $P E \perp A C$ , $PF \perp AB$ . Los radios de la circunferencia inscrita y de la circunferencia circunscrita de $\Delta ABC $ son $r,R$ respectivamente. Demuestre que $$\frac{{EF}}{{{B_1}{C_1}}} \ge\frac{r}{R}.$$ https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/1/9/8b99561ba805c9e6fea33509440e256d84bf24.gif