1 (a) Para cualquier polinomio $p(t)$ , el límite \[ \lim_{t \to \infty} \frac{p(t)}{e^t} \] es independiente del polinomio $p$ . Justifique esta afirmación y halle el valor del límite. (b) Considere la función definida por \[ q(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & \text{when } x > 0, \\ 0 & \text{when } x = 0, \\ e^{1/x} & \text{when } x < 0. \end{cases} \] Demuestre que $q'(0)$ existe y halle su valor. ¿Por qué basta calcular el límite correspondiente solo por un lado? (c) Ahora, para cualquier entero positivo $n$ , demuestre que $q^{(n)}(0)$ existe y halle su valor. Aquí $q(x)$ es la función de la parte (b) y $q^{(n)}(0)$ denota su $n$ -ésima derivada en $x = 0$ .