Sean $k$ y $x_0$ enteros positivos. Defina una sucesión de números racionales positivos $x_0, x_1, x_2, \dots$ mediante \[ x_{n+1} = \frac{k}{x_0 + x_1 + \dots + x_n}, \quad \text{for all } n \geq 0. \] Suponga que cada término se puede escribir como $x_n = \frac{a_n}{b_n}$ , donde $a_n$ y $b_n$ son enteros positivos primos relativos. Determine todos los valores de $k$ para los cuales existe una constante racional positiva $c$ tal que, para todas las elecciones de $x_0$ y todo $n \geq 2$ , el número \[ c a_n + b_n \] sea un cuadrado perfecto. Propuesto por Santiago Rodriguez y Gregorio Salazar