Considera el conjunto \(A = \{1, 2, ..., n\}\). Para cada entero \(k\), sea \(r_k\) la mayor cantidad de elementos distintos de \(A\) que podemos elegir de modo que la diferencia entre dos números elegidos sea siempre distinta de \(k\). Determina el mayor valor posible de \(r_k\), donde \(1 \le k \le \frac{n}{2}\).