Cien polígonos convexos se colocan en un cuadrado con un lado de longitud $38 cm.$ El área de cada uno de los polígonos es menor que $\pi cm^2,$ y el perímetro de cada uno de los polígonos es menor que $2\pi cm.$ Demuestre que existe un disco con radio $1$ en el cuadrado que no intersecta ninguno de los polígonos.