Tres patinadores de velocidad tienen una 'carrera' amistosa en un óvalo de patinaje. Todos comienzan desde el mismo punto y patinan en la misma dirección, pero con diferentes velocidades que mantienen durante toda la carrera. El patinador más lento da $1$ vuelta por minuto, el más rápido da $3.14$ vueltas por minuto, y el del medio da $L$ vueltas por minuto para algún $1 < L < 3.14$ . La carrera termina en el momento en que los tres patinadores se juntan nuevamente en el mismo punto en el óvalo (que puede diferir del punto de partida). Determine el número de opciones diferentes para $L$ tales que ocurran exactamente $117$ pasadas antes del final de la carrera. Nota: Una pasada se define como cuando un patinador pasa a otro. El comienzo y el final de la carrera cuando los tres patinadores están juntos no se cuentan como pasadas.