Suponga que los puntos $F_1, F_2$ son los focos izquierdo y derecho de la elipse $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ respectivamente, y el punto $P$ está en la línea $l:$ , $x-\sqrt{3} y+8+2\sqrt{3}=0$ . Encuentre el valor de la razón $\frac{|PF_1|}{|PF_2|}$ cuando $\angle F_1PF_2$ alcanza su valor máximo.