Determina todos los pares de enteros positivos $(a, b)$ tales que $a + b + (gcd (a, b))^2 = lcm (a, b) = 2 \cdot lcm(a - 1, b)$, donde $lcm (a, b)$ denota el mínimo común múltiplo, y $gcd (a, b)$ denota el máximo común divisor de los números $a, b$.