Sean $m$ y $n$ enteros positivos. Algunos cuadrados de un tablero de $m \times n$ están coloreados de rojo. Una secuencia $a_1, a_2, \ldots , a_{2r}$ de $2r \ge 4$ cuadrados rojos distintos por pares se llama circuito de alfil si para cada $k \in \{1, \ldots , 2r \}$ , los cuadrados $a_k$ y $a_{k+1}$ se encuentran en una diagonal, pero los cuadrados $a_k$ y $a_{k+2}$ no se encuentran en una diagonal (aquí $a_{2r+1}=a_1$ y $a_{2r+2}=a_2$ ) . En términos de $m$ y $n$ , determine el número máximo posible de cuadrados rojos en un tablero de $m \times n$ sin un circuito de alfil. ( Nota. Dos cuadrados se encuentran en una diagonal si la línea que pasa por sus centros interseca los lados del tablero en un ángulo de $45^\circ$ . )