Sea $n\geqslant 2$ un entero positivo. Paul tiene una tira rectangular de $1\times n^2$ que consta de $n^2$ cuadrados unitarios, donde el $i^{\text{th}}$ cuadrado está etiquetado con $i$ para todo $1\leqslant i\leqslant n^2$ . Él desea cortar la tira en varias piezas, donde cada pieza consta de una cantidad de cuadrados unitarios consecutivos, y luego trasladar (sin rotar ni voltear) las piezas para obtener un cuadrado de $n\times n$ que satisfaga la siguiente propiedad: si el cuadrado unitario en la $i^{\text{th}}$ fila y la $j^{\text{th}}$ columna está etiquetado con $a_{ij}$ , entonces $a_{ij}-(i+j-1)$ es divisible por $n$ . Determine el número más pequeño de piezas que Paul necesita hacer para lograr esto.