Primero que todo, si los vectores $\vec {u_i}=(a_{i1},\ a_{i2},\ a_{i3})$ son coplanarios, entonces es fácil mostrar que todos los tres componentes de la solución no nula del sistema $a_{i1}c_i+a_{i2}c_2+a_{i3}c_3=0$ tienen el mismo signo. En este caso encontramos $c_i$ positivos tal que todas esas expresiones son iguales a $0$. Podemos así asumir que los tres vectores no son coplanarios (o, en otras palabras, podemos asumir que son independientes). Tenemos que encontrar tres números positivos $t_i$ tal que todos los componentes de la solución del sistema $a_{i1}c_1+a_{i2}c_2+a_{i3}c_3=t_i$ tienen el mismo signo. En otras palabras, tenemos que encontrar $t_i$ positivos tal que los tres determinantes obtenidos de $\left |\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right |$ al reemplazar una columna con $\left (\begin{array}{c}t_1\\ t_2\\ t_3\end{array} \right )$ tienen el mismo signo. Esto se traduce a que el punto $T(t_1,t_2,t_3)$ está en el interior del triedro determinado por las líneas $OP_1,OP_2,OP_3$ , donde $P_i(a_{1i},a_{2i},a_{3i}$ . No es difícil mostrar que tal punto $T$ existe (por 'triedro' entiendo la figura formada por tres líneas en el espacio, no tres rayos, como usualmente entendemos). Esta es la parte de la que no estoy convencido. Está relacionado al hecho de que el volumen orientado de un tetraedro que tiene a $O$ como vértice depende de la dirección en la que consideramos los tres vértices diferentes de $O$ (dirección horaria/antihoraria). ¿Opiniones?