Dado un entero $n > 1$ y un número real $t \geq 1$. $P$ es un paralelogramo con cuatro vértices $(0, 0), (0, t), (tF_{2n+1}, tF_{2n}), (tF_{2n+1}, tF_{2n} + t)$. Aquí, ${F_n}$ es el $n$ - ésimo término de la secuencia de Fibonacci definida por $F_0 = 0, F_1 = 1$ y $F_{m+1} = F_m + F_{m-1}$. Sea $L$ el número de puntos integrales (cuyas coordenadas son enteros) interiores a $P$, y $M$ el área de $P$, que es $t^2F_{2n+1}.$ i) Demuestra que para cualquier punto integral $(a, b)$, existe un único par de enteros $(j, k)$ tal que $j(F_{n+1}, F_n) + k(F_n, F_{n-1}) = (a, b)$, es decir, $jF_{n+1} + kF_n = a$ y $jF_n + kF_{n-1} = b.$ ii) Usando i) o no, demuestra que $|\sqrt L-\sqrt M| \leq \sqrt 2.$