Sea $f: [0,1]\rightarrow(0,+\infty)$ una función continua. a) Demuestre que para cualquier entero $n\geq 1$ , existe una única división $0=a_{0}<a_{1}<\ldots<a_{n}=1$ tal que $\int_{a_{k}}^{a_{k+1}}f(x)\, dx=\frac{1}{n}\int_{0}^{1}f(x)\, dx$ se cumple para todo $k=0,1,\ldots,n-1$ . b) Para cada $n$ , considere los $a_{i}$ anteriores (que dependen de $n$ ) y defina $b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n}$ . Demuestre que la secuencia $(b_{n})$ es convergente y calcule su límite.