Sea $k$ un entero positivo par dado. Sarah primero escoge un entero positivo $N$ mayor que $1$ y procede a alterarlo de la siguiente manera: cada minuto, ella elige un divisor primo $p$ del valor actual de $N$, y multiplica el $N$ actual por $p^k -p^{-1}$ para producir el siguiente valor de $N$. Demuestre que hay infinitos enteros positivos pares $k$ tales que, sin importar las elecciones que Sarah haga, su número $N$ en algún momento será divisible por $2018$.