Sea $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ una función continua. Demuestre que \[\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f(x^n) \ dx=f(0).\] Además, si $f(0)=0$ y $f$ es diferenciable por la derecha en $0{}$ , demuestre que los límites \[\lim_{\varepsilon\to0}\int_\varepsilon^1\frac{f(x)}{x} \ dx\quad\text{and}\quad\lim_{n\to\infty}\left(n\int_0^1f(x^n) \ dx\right)\] existen, son finitos y son iguales.