3 Sean $m, n$ enteros positivos. Considere una sucesión de enteros positivos $a_1, a_2, ... , a_n$ que satisface $m = a_1 \ge a_2\ge ... \ge a_n \ge 1$ . Luego defina, para $1\le i\le m$ , $b_i =$ # $\{ j \in \{1, 2, ... , n\}: a_j \ge i\}$ , de modo que $b_i$ es el número de términos $a_j $ de la sucesión dada para los cuales $a_j \ge i$ . De manera similar, definimos, para $1\le j \le n$ , $c_j=$ # $\{ i \in \{1, 2, ... , m\}: b_i \ge j\}$ , así $c_j$ es el número de términos bi en la sucesión dada para los cuales $b_i \ge j$ . Por ejemplo: si $a$ es la sucesión $5, 3, 3, 2, 1, 1$ entonces $b$ es la sucesión $6, 4, 3, 1, 1$ . (a) Demuestre que $a_j = c_j $ para $1 \le j \le n$ . (b) Demuestre que para $1\le k \le m$ : $\sum_{i=1}^{k} b_i = k \cdot b_k + \sum_{j=b_{k+1}}^{n} a_j$ .