3 Para un entero positivo $n$ , consideramos un tablero de $n \times n$ y fichas con dimensiones $1 \times 1, 1 \times 2, ..., 1 \times n$ . ¿De cuántas maneras exactamente se pueden colorear de rojo $\frac12 n (n + 1)$ casillas del tablero, de modo que las casillas rojas puedan cubrirse todas colocando las $n$ fichas todas horizontalmente, pero también colocando todas las $n$ fichas verticalmente? Dos coloraciones que no son idénticas, pero que se transforman una en la otra por rotación o reflexión del tablero, se consideran diferentes.