Sea $r > 1$ un número real, y sea $n$ el entero más grande menor que $r$. Considere un número real arbitrario $x$ con $0 \leq x \leq \frac{n}{r-1}$. Por una expansión en base - $r$ de $x$ entendemos una representación de $x$ en la forma $$x=\frac{a_1}{r} + \frac{a_2}{r^2}+ \frac{a_3}{r^3}+\cdots$$ donde los $a_i$ son enteros con $0 \leq a_i < r.$ Puede asumir sin prueba que todo número $x$ con $0 \leq x \leq \frac{n}{r-1}$ tiene al menos una expansión en base - $r$. Demuestre que si $r$ no es un entero, entonces existe un número $p$ , $0 \leq p \leq \frac{n}{r-1}$ , que tiene infinitas expansiones distintas en base - $r$.