Sea $ p $ un número natural y sean dos particiones $ \mathcal{A} =\left\{ A_1,A_2,...,A_p\right\} ,\mathcal{B}=\left\{ B_1,B_2,...B_p\right\} $ de un conjunto finito $ \mathcal{M} . $ Sabiendo que, siempre que un elemento de $ \mathcal{A} $ no tiene ningún elemento en común con otro de $ \mathcal{B} , $ se cumple que el número de elementos de estos dos es mayor que $ p, $ demuestre que $ \big| \mathcal{M}\big|\ge\frac{1}{2}\left( 1+p^2\right) . $ ¿Puede darse la igualdad?