Sea $n$ un entero positivo y suponga que $\phi(n)=\frac{n}{k}$ , donde $k$ es el cuadrado perfecto más grande tal que $k \mid n$ . Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ sean $n$ enteros positivos tales que $a_i=p_1^{a_1i} \cdot p_2^{a_2i} \cdots p_n^{a_ni}$ , donde $p_i$ son números primos y $a_{ji}$ son enteros no negativos, $1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n$ . Sabemos que $p_i\mid \phi(a_i)$ , y si $p_i\mid \phi(a_j)$ , entonces $p_j\mid \phi(a_i)$ . Demuestre que existen enteros $k_1,k_2,\ldots,k_m$ con $1 \leq k_1 \leq k_2 \leq \cdots \leq k_m \leq n$ tales que \[\phi(a_{k_{1}} \cdot a_{k_{2}} \cdots a_{k_{m}})=p_1 \cdot p_2 \cdots p_n.\]