Sea $ABC$ un triángulo equilátero con la longitud del lado igual a $a+ b+ c$. En el lado $AB{}$ del triángulo $ABC$ se eligen los puntos $C_1$ y $C_2$, en el lado $BC$ se eligen los puntos $A_1$ y $A_2$, y en el lado $CA$ se eligen los puntos $B_1$ y $B_2$ tales que $A_1A_2 = CB_1 = BC_2 = a, B_1B_2 = AC_1 = CA_2 = b, C_1C_2 = BA_1 = AB_2 = c$. Sea el punto $A^{’}$ tal que el triángulo $A^{'} B_2C_1$ es equilátero, y los puntos $A$ y $A^{'}$ se encuentran en lados diferentes de la línea $B_2C_1$. Del mismo modo, se construyen los puntos $B^{’}$ y $C^{'}$ (el triángulo $B^{'} C_2A_1$ es equilátero, y los puntos $B$ y $B^{’}$ se encuentran en lados diferentes de la línea $C_2A_1$; el triángulo $C^{'} A_2B_1$ es equilátero, y los puntos $C$ y $C^{'}$ se encuentran en lados diferentes de la línea $A_2B_1$). Demuestre que el triángulo $A^{'}B^{'}C^{'}$ es equilátero.