Sea $ABC$ un triángulo equilátero con lado de longitud $10$. Un cuadrado $PQRS$ está inscrito en él, con $P$ en $AB, Q, R$ en $BC$ y $S$ en $AC$. Si el área del cuadrado $PQRS$ es $m +n\sqrt{k}$ donde $m, n$ son enteros y $k$ es un número primo, entonces determina el valor de $\sqrt{\frac{m+n}{k^2}}$.