Sea $k$ un número natural arbitrario. Sea $\{m_1,m_2,\ldots{},m_k\}$ una permutación de $\{1,2,\ldots{},k\}$ tal que $a_{m_1} < a_{m_2} < \cdots{} < a_{m_k}$ . Notemos que nunca podemos tener igualdad ya que $|a_{m_i} - a_{m_{i+1}}| \ge \frac{1}{m_i+m_{i+1}}$ . Sea $\overline{a_ia_j} = |a_i-a_j|$ . Viendo los $a_i$ como un conjunto de intervalos en $[0,c]$ , tiene sentido que $\overline{a_{m_1}a_{m_k}} = \sum \limits_{i=1}^{k-1} \overline{a_{m_i}a_{m_{i+1}}}$ . $\overline{a_{m_i}a_{m_k}} \ge \sum\limits_{i=1}^{k-1} \frac{1}{m_i+m_{i+1}}$ . Por la desigualdad de las Medias Aritmética y Armónica, $\frac{(a_1+a_2) + (a_2+a_3) + \ldots{} + (m_{k-1}+m_k)}{k-1} \ge \frac{k-1}{\frac{1}{m_1+m_2} + \ldots{} + \frac{1}{m_{k-1}+m_k}}$ . $(m_1+2m_2+\ldots{}+2m_{k-1}+2m_k)\left(\frac{1}{m_1+m_2} + \ldots{} + \frac{1}{m_{k-1}+m_k}\right) \ge (k-1)^2$ . $(\overline{a_{m_1}a_{m_k}})(m_1+2m_2+\ldots{}+2m_{k-1}+m_k) \ge (k-1)^2$ . El término derecho del lado izquierdo es menor que $2(m_1+m_2+\ldots{}+m_k)$ : $2\overline{a_{m_1}a_{m_k}}(m_1+m_2+\ldots{}+m_k) > (k-1)^2$ Ya que $\{m_1,m_2,\ldots{},m_k\}$ es una permutación de $\{1,2,\ldots{},k\}$ , $2\overline{a_{m_1}a_{m_k}} \cdot \frac{k(k+1)}{2} > (k-1)^2$ . $\overline{a_{m_1}a_{m_k}} > \frac{(k-1)^2}{k(k+1)} = \frac{k-1}{k} \cdot \frac{k-1}{k+1} > \left(\frac{k-1}{k+1}\right)^2 = \left(1-\frac{2}{k+1}\right)^2$ . Si $\overline{a_{m_1}a_{m_k}} < 1$ para todo $k \in \mathbb N$ , podemos encontrar fácilmente un $k$ tal que $\left(1-\frac{2}{k+1}\right)^2 > \overline{a_{m_1}a_{m_k}}$ , causando una contradicción. Así que $\overline{a_{m_1}a_{m_k}} \ge 1$ para algunos enteros $m_1$ , $m_k$ . $|a_{m_1}-a_{m_k}| \ge 1$ . Ya que ambos términos son positivos, es claro que al menos uno de ellos es mayor o igual que $1$ . Así que $c \ge 1$ , como queríamos.