Una secuencia $\{a_n\}$ se define recursivamente por $a_1=\frac{1}{2}, $ y para $n\ge 2,$ $0<a_n\leq a_{n-1}$ y \[a_n^2(a_{n-1}+1)+a_{n-1}^2(a_n+1)-2a_na_{n-1}(a_na_{n-1}+a_n+1)=0.\] $(1)$ Determine la fórmula general de la secuencia $\{a_n\};$ $(2)$ Sea $S_n=a_1+\cdots+a_n.$ Pruebe que para $n\ge 1,$ $\ln\left(\frac{n}{2}+1\right)<S_n<\ln(n+1).$