Para cada entero $n > 1$ , la sucesión $\left( {{S}_{n}} \right)$ se define por ${{S}_{n}}=\left\lfloor {{2}^{n}}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\_{n\ radicals} \right\rfloor $ donde $\left\lfloor x \right\rfloor$ denota la función piso de $x$ . Demuestre que ${{S}_{2001}}=2\,{{S}_{2000}}+1$ .