7 Una cerradura de combinación diabólica tiene $n$ discos (cada uno con $c$ estados posibles), donde $n,c>1$ . Los discos están inicialmente fijados en los estados $d_1, d_2, \ldots, d_n$ , donde $0\le d_i\le c-1$ para cada $1\le i\le n$ . Desafortunadamente, los estados reales de los discos (los $d_i$ ) están ocultos, y los ajustes iniciales de los discos también son desconocidos. En un turno dado, uno puede avanzar cada disco una cantidad entera $c_i$ ( $0\le c_i\le c-1$ ) , de modo que cada disco queda ahora en un estado $d_i '\equiv d_i+c_i \pmod{c}$ con $0\le d_i ' \le c-1$ . Después de cada turno, la cerradura se abre si y solo si todos los discos están fijados en el estado cero; en caso contrario, la cerradura selecciona un entero aleatorio $k$ y desplaza cíclicamente los $d_i$ en $k$ (de modo que para todo $i$ , $d_i$ se reemplaza por $d_{i-k}$ , donde los índices se toman módulo $n$ ) . Demuestre que la cerradura siempre puede abrirse, independientemente de las elecciones de la configuración inicial y de las elecciones de $k$ (que pueden variar de turno en turno), si y solo si $n$ y $c$ son potencias del mismo primo. Bobby Shen.