5 Hay una cuadrícula de $2012\times 2012$ con filas numeradas $1,2,\dots 2012$ y columnas numeradas $1,2,\dots, 2012$ , y colocamos sobre ella algunas servilletas rectangulares de modo que los lados de las servilletas estén todos sobre líneas de la cuadrícula. Cada servilleta tiene un grosor entero positivo. (¡en micrómetros!) (a) Demuestre que existen $2012^2$ enteros únicos $a_{i,j}$ con $i,j \in [1,2012]$ tales que para todo $x,y\in [1,2012]$ , la suma \[ \sum _{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y} a_{i,j} \] sea igual a la suma de los grosores de todas las servilletas que cubren la casilla de la cuadrícula en la fila $x$ y la columna $y$ . (b) Demuestre que si usamos a lo sumo $500,000$ servilletas, al menos la mitad de los $a_{i,j}$ serán $0$ . Propuesto por Ray Li