Sean $x_1,x_2,\dots,x_{2023}$ números reales positivos distintos dos a dos tales que \[a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\dots+x_n)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_n}\right)}\] es un entero para todo $n=1,2,\dots,2023.$ Demuestre que $a_{2023} \geqslant 3034.$