Dados un entero positivo $n$ y $r$ primos distintos por pares $p_1,p_2,\cdots,p_r.$ Inicialmente, hay $(n+1)^r$ números escritos en la pizarra: $p_1^{i_1}p_2^{i_2}\cdots p_r^{i_r} (0 \le i_1,i_2,\cdots,i_r \le n).$ Alice y Bob juegan un juego haciendo un movimiento por turnos, con Alice yendo primero. En la ronda de Alice, ella borra dos números $a,b$ (no necesariamente diferentes) y escribe $\gcd(a,b)$. En la ronda de Bob, él borra dos números $a,b$ (no necesariamente diferentes) y escribe $\mathrm{lcm} (a,b)$. El juego termina cuando solo queda un número en la pizarra. Determine el $M$ mínimo posible tal que Alice pueda garantizar que el número restante no sea mayor que $M$, independientemente del movimiento de Bob.