Sea $W$ un entero positivo fijo. Sea $S$ el conjunto de todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos tales que $a \neq b$ . Para cada $(a, b) \in S$ , sea $m(a,b)$ el entero más grande que satisface $$\nm(a, b) \leq \frac{1 + na}{1 + nb}\n$$ para todos los enteros $n \geq 1$ . (a) Para cada $(a, b) \in S$ , demuestre que existe un entero positivo $k$ tal que $$\nm(a,b) \leq \frac{1 + na}{W + nb}\n$$ para todo $n \geq k$ . (b) Para cada $(a, b) \in S$ , sea $k(a,b)$ el valor más pequeño de $k$ que satisface la condición de la parte (a). Determine $\max \{k(a,b) \mid (a,b) \in S \}$ o demuestre que no existe.