Sea $S$ un conjunto finito de enteros positivos que tiene la siguiente propiedad: si $x$ es un miembro de $S$, entonces también lo son todos los divisores positivos de $x$. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es bueno si siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, la razón $y/x$ es una potencia de un número primo. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es malo si siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, la razón $y/x$ no es una potencia de un número primo. Un conjunto de un elemento se considera tanto bueno como malo. Sea $k$ el tamaño máximo posible de un subconjunto bueno de $S$. Demuestre que $k$ es también el número más pequeño de subconjuntos malos disjuntos por pares cuya unión es $S$.