Sean $a_1,a_2,\cdots ,a_{100}$ enteros no negativos tales que $(1)$ Existen enteros positivos $ k\leq 100$ tales que $a_1\leq a_2\leq \cdots\leq a_{k}$ y $a_i=0$ $(i>k);$ $(2)$ $ a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{100}=100;$ $(3)$ $ a_1+2a_2+3a_3+\cdots +100a_{100}=2022.$ Encuentre el mínimo de $ a_1+2^2a_2+3^2a_3+\cdots +100^2a_{100}.$