Una función \[\text{f:(0,}\infty \text{) }\to \text{(0,}\infty \text{)}\] se llama contrato si, para cada número $x,y\in \text{(0,}\infty \text{)}$ tenemos, $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{f}^{n}}\left( x \right)-{{f}^{n}}\left( y \right) \right)=0$ donde ${{f}^{n}}=\underbrace{f\circ f\circ ...\circ f}_{n\ f\text{'s}}$ a) Considere \[f:\text{(0,}\infty \text{) }\to \text{(0,}\infty \text{)}\] una función contraída, continúe con la propiedad de que tiene un punto fijo, que existe ${{x}_{0}}\in \text{(0,}\infty \text{) }$ allí para que $f\left( {{x}_{0}} \right)={{x}_{0}}.$ Muestre que $f\left( x \right)>x,$ para cada $x\in \text{(0,}{{x}_{0}}\text{)}\,$ y $f\left( x \right)<x$ , para cada $x\in \text{(}{{x}_{0}}\text{,}\infty \text{)}\,$ . b) Muestre que la función dada \[f\text{:(0,}\infty \text{) }\to \text{(0,}\infty \text{)}\] dada por $f\left( x \right)=x+\frac{1}{x}$ está contraída pero no tiene un número fijo.