Amy y Bob eligen números de $0,1,2,\cdots,81$ por turnos y Amy elige el número primero. Cada vez, el que elige el número elige un número de los números restantes. Cuando se eligen los $82$ números, sea $A$ la suma de todos los números que Amy elige, y sea $B$ la suma de todos los números que Bob elige. Durante el proceso, Amy intenta hacer que $\gcd(A,B)$ sea lo más grande posible, y Bob intenta hacer que $\gcd(A,B)$ sea lo más pequeño posible. Suponga que Amy y Bob toman la mejor estrategia de cada uno, respectivamente, determine $\gcd(A,B)$ cuando se eligen los $82$ números.