Determine el máximo real $k$ tal que exista un conjunto $X$ y sus subconjuntos $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $ ...$ , $Y_{31}$ que satisfagan las siguientes condiciones: (1) para cada dos elementos de $X$ existe un índice $i$ tal que $Y_{i}$ no contiene ninguno de estos elementos; (2) si se asignan números no negativos $ \alpha_{i}$ a los subconjuntos $Y_{i}$ y $ \alpha_{1}+\dots+\alpha_{31}=1$ entonces existe un elemento $x\in X$ tal que la suma de $ \alpha_{i}$ correspondiente a todos los subconjuntos $Y_{i}$ que contienen $x$ es al menos $k$ .