4 Sean $A,B,P$ reales positivos con $P\le A+B$ . (a) Elija reales $\theta_1,\theta_2$ con $A\cos\theta_1 + B\cos\theta_2=P$ y demuestre que \[ A\sin\theta_1 + B\sin\theta_2 \le \sqrt{(A+B-P)(A+B+P)} \] (b) Demuestre que la igualdad se alcanza cuando $\theta_1=\theta_2=\arccos\left(\dfrac{P}{A+B}\right)$ . (c) Tome $A=\dfrac{1}{2}xy, B=\dfrac{1}{2}wz$ y $P=\dfrac14 \left(x^2+y^2-z^2-w^2\right)$ con $0<x\le y\le x+z+w$ , $z,w>0$ y $z^2+w^2<x^2+y^2$ . Muestre que podemos traducir (a) y (b) en el siguiente teorema: de todos los cuadriláteros con longitudes de los lados (ordenadas) $(x,y,z,w)$ , el cíclico tiene la mayor área.