4 Una sucesión estrictamente creciente de números $x_1$ , $x_2$ , $ ...$ , $x_n$ se denomina $m$ - delgada si y solo si para todo $a = 2, ..., n$ se cumplen las desigualdades $x_a - x_{a-1} \le m$ . Un conjunto A de números se denomina $m$ - denso si y solo si contiene, para todo número natural $n \ge 2$ , una sucesión estrictamente creciente de $n$ términos que es $m$ - delgada. Demuestre el siguiente enunciado (un debilitamiento de un famoso teorema del matemático neerlandés B. L. van der Waerden): Para toda partición del conjunto $N$ de todos los números naturales en $r \ge 2$ subconjuntos no vacíos disjuntos dos a dos $T_1$ , $...$ , $T_r$ , existe un número positivo $m$ tal que (al menos) uno de los conjuntos $T_1$ , $...$ , $T_r$ es un conjunto $m$ - denso. 1) Citar simplemente este teorema (en el que aparecen progresiones aritméticas en lugar de sucesiones m-delgadas) como un hecho conocido sin demostración no bastaría para resolver el problema.